问：本单元的教学内容是什么？

答：本单元教学用枚举的策略解决实际问题，是在四年级画图、列表等策略的基础上编排的。通过枚举解决问题是把符合问题的全部可能逐个找出，并用某种形式进行整理，从而得到问题的答案。

有些实际问题的解答，列式计算非常困难。但是，与问题相符的一些可能答案却很容易凭经验或直觉得到，只要把符合题意的所有可能答案全部找到，问题也就顺利解决。因此，枚举是解决问题的策略之一。编排本单元要拓宽学生解决问题的思路，增加解决问题的方法，提高解决问题的效率，是对传统数学教学的一项改革。另外，在枚举过程中思维是周密而有条理地进行的，既不能有疏漏，也不允许重复，对发展数学思考是十分有益的。

枚举即一一列举。对小学生而言，“一一列举”通俗易懂。教材从学生的实际出发，没有使用“枚举”这个词，而用“一一列举”替代。

问：例题设计了怎样的教学线索？

答：全单元编排三道例题，从中可以理出三条教学线索。

1. 以现实情境引发自觉的枚举活动。从教材的角度讲，枚举是教学的新知识，而学生在日常生活中或多或少都曾经进行过枚举活动，具有简单枚举的经验，这是可以利用的教学资源。精选需要应用枚举策略解决的实际问题，创设情境激活已有的枚举经验，引导学生主动开展枚举活动，是设计的第一条教学线索。例1用18根1米长的栅栏围长方形羊圈，学生能够理解“不同围法”是指围成的各个长方形的长、宽米数不同，很自然地从宽是1米、2米……依次思考，得到一共有4种围法。例2在三种杂志各1本的场景中，学生能够从“最少订1本、最多订3本”想到还可以订2本，于是按订阅1本、2本、3本的次序思考。例3旅馆住宿的题材能引起“几个3人间和几个2人间”的猜想和假设，从而自觉进行枚举活动。以现实的问题情境进行教学，使枚举变成有意义的自觉行为，而不是机械被动的接受。

2. 逐渐增加问题的复杂程度，逐步学会枚举方法。枚举的适用面是比较宽的，许多问题都可以用它解决。枚举策略是在实践中形成的，逐步学会枚举方法是教材的第二条线索。三道例题是有层次地递进的，例1是比较简单的问题，容易引发枚举活动，枚举也容易进行。这道例题让学生初步感受枚举是解决问题的方法，初步体会枚举应有序地进行，可以从长方形的宽是1米、2米……从小到大依次地想，也可以从长方形的长是8米、7米……从大到小依次地想。还要体会枚举到什么时候停止，一般情况下长方形的长比宽长一些，如果按宽的米数枚举，不要超过长方形周长的1/4，即宽最多是4米；如果按长的米数枚举，不要少于长方形周长的1/4，即长最少是5米。因此，两次枚举分别到宽4米或长5米为止。例2比例1复杂，不仅要依次分析只订1本、订阅2本、订阅3本三类情况，而且只订1本和订阅2本都有三种不同的选择，尤其订阅2本是难点，要联系曾经学过的搭配规律。这道例题的教学重点是怎样得到所有的订法，突出枚举时的条理性和思维的周密性。例3在枚举时要检验安排的方案是不是能做到“每个房间都不能有空位”，随时保留符合要求的方案，如1个3人间和10个2人间；及时排除不符合要求的安排，如2个3人间和9个2人间。另外，这道题还可分别从只住1个3人间和只住1个2人间想起，体现了枚举思路可以是多向的。

3. 回顾解题活动，体验枚举。感悟和体验是认识枚举策略的重要渠道。“提出实际问题—解决实际问题—回顾再认解题活动”是教材设计的又一条教学线索，各道例题都按这条线索编写，并为教学预留感悟、体验枚举活动的时空。例1在得出答案后，通过大卡通的提问，引导学生回顾这个问题的解决方法和过程，感悟“一一列举”的具体含义，初步体验枚举的特点和好处，感受用枚举能方便地解决问题。例2在解题前思考“准备用什么策略解决这个问题”，促使例1获得的枚举经验能顺利实现迁移应用；在解题后通过大卡通的问题引导学生分析枚举的过程，体会枚举策略是可行和有效的，以及枚举时要有序地、周密地思考。例3也要回顾分析解题活动，继续体会枚举是解决问题的有效方法，还要理解枚举时思路起点的设定以及对每种具体方法及时验证、筛选的必要性。回顾与分析是解决问题教学不可忽视的环节，一方面有明确和消化知识的作用，另一方面能积累数学思想方法和数学活动经验。教材编写为教学留出回顾、分析的时空，主要表现在两点：一是例题给学生留出了操作、填表、思考的空间，并自己得出答案，加强对枚举的感受；二是设计大卡通的提问，引导教学要研究活动的方法，分析活动的过程，使学生获得比较理性的认识。

问：枚举可以采用哪些形式？怎样对待形式的多样化？

答：教材里出现了操作学具、列表、画图等多种形式的枚举活动，都是从实际问题的呈现特点和学生实际出发做出的合理选择。

1. 每种形式各有特点。操作学具容易引发枚举活动，尤其在初学枚举策略时很适用。在例1的问题情境里，学生往往首先想到的是用小棒摆一摆。在例2的情境里，学生也会想到在三本书中拿一拿。通过摆或拿就自然展开了枚举活动，并逐步经历从无序操作到有序操作的过程。列表有助于有序枚举，学生填表时一般会自觉从大到小或从小到大依次枚举，这样能有效避免疏漏或重复。而且列表及时记录了每一种可能的方案，能直接在表格中看到问题的答案。画图在一些特定的问题情境里，特别是不便于列表的时候很有效。如练习十一第8题在平面图上画一画，第9题在两点之间连线，都能较快地解决问题。

2. 列表是常用的枚举形式。三道例题都有列表填一填的活动，例1先摆学具再列表，能帮助学生理解表格的内容和填法，感受列表枚举比操作学具简捷。例2先思考再列表，能让学生理解表格的设计，体会列表能直观有效地解决难点。例3在初步理解题意开启思路的基础上，通过填表解决问题。可见，教材把列表作为枚举的常用形式，要求学生初步学会在表格里列举。

3. 鼓励创新，提倡形式个性化。练习十一的9道题里，有2道已经列出了表格，学生可以填表列举，有2道可以直接在图上画画、填填，找到答案，其他的题让学生自主选择枚举的形式。教材希望学生灵活地、创造性地使用列表、画图或摆学具等方法，体现自己的个性。如第2题可以在教材或者在纸上，接着已有的四次铃响时间，继续写出上午和下午还能发出铃声的时间，然后把13：00、14：40、15：40、16：00分别与这些时间比对，以确定这四个时间是否会发出铃声。第5题可以借鉴例3里的某张表格进行设计，通过列表进行枚举。第6题可以边画图边推理，当然这样的图应尽量引导学生自己想到，而不是生硬地告诉他们